miércoles, 7 de octubre de 2009

TEOREMA DEL BINOMIO

Teorema del binomio

En matemáticas, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece:

El coeficiente de xkynk en el desarrollo

de (x + y)n es {n\choose k}

donde {n\choose k} recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n.

Usando la fórmula para calcular el valor de {n\choose k} (que también es representado ocasionalmente como C(n,k) o C^n_k ) se obtiene una tercera representación:

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k.


Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:

\begin{cases} (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\ (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,

Teorema generalizado del binomio (Newton)

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3) {(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^{k}}

Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose r-1} x^k.

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

BIBLIOGRAFIA:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomio



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