miércoles, 7 de octubre de 2009

TEOREMA DEL BINOMIO

Teorema del binomio

En matemáticas, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece:

El coeficiente de $x k y n - k$ en el desarrollo
de $(x + y) n$ es ${n\choose k}$

donde ${n\choose k}$ recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n.$

Usando la fórmula para calcular el valor de ${n\choose k}$ (que también es representado ocasionalmente como $C (n, k)$ o $C^n_k$ ) se obtiene una tercera representación:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k.$

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:

$\begin{cases} (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\ (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}$

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

$(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,$

Teorema generalizado del binomio (Newton)

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3) ${(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^{k}}$

Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

${r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}$

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

$\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose r-1} x^k.$

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

BIBLIOGRAFIA:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomio

SUCESIONES

Sucesión matemática

Una sucesión matemática es una aplicación definida sobre los números naturales. Es costumbre representarla con las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que sirven para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente n (por natural) en vez de x, habitual para las variables reales.

Por convención, se escribe u_n (en vez de u(n)), la imagen de n por la sucesión u, o sea el término número n+1 de la sucesión u (el primer término es habitualmente u₀).

$\begin{matrix} u:& \mathbb{N} & \to & \mathbb{R} \\ & n & \to & u_n \end{matrix}$

Existen esencialmente dos maneras de definir una sucesión: explícitamente o implícitamente.

También asociado a una sucesión está el concepto de convergencia.

Definición explícita

La definición es explícita cuando se da una fórmula que permite hallar u_n mediante un cálculo único donde no interviene otra variable que n. En otras palabras, u_n es una función de n: u_n = f(n).

Es el caso representado por el primer gráfico, donde la función es polinomial. Los términos de la sucesión son las ordenadas de los puntos rojos, cuyas abscisas son los enteros naturales.

Cuando la función f es definida también en los reales (como en la figura), el estudio de f (límite en + ∞ variaciones, extremos) permite conocer perfectamente u:

Si f tiende hacia l (en + ∞) entonces también lo hace u. La recíproca es errónea, como lo muestra la función f(x) = sin(2π·x), que no tiene límite mientras que u_n = f(n) es siempre nulo y u tiende por lo tanto hacia cero.
Si f es creciente en un intervalo [a; b] entonces u lo es para los valores enteros positivos del intervalo (o sea sobre [a; b] ∩ $\mathbb{N}$ ).
Para los extremos, la cosa se complica: si los extremos de f no corresponden a valores enteros de x, entonces se tiene que considerar los naturales más próximos y comparar los u_n correspondientes. En la figura, f tiene un mínimo relativo en el intervalo ]2; 3[, y como u₂ <>3, u₂ es un mínimo relativo de u. El máximo relativo de f en ]6; 7[ da dos máximos relativos de u porque u₆ = u₇.

Sin embargo, existen métodos para estudiar u sin estudiar f: el sentido de variación se puede determinar con el signo de u_n+1 - u_n (si es positivo, u crece), o comparando la fracción u_n+1/u_n con 1 (apropiado cuando u es de signo constante, a ser posible positivo). Estos cálculos pueden ser más sencillos cuando f tiene una función derivada complicada.

En algunos casos, la función f que aparece en un = f(n) no puede extenderse a . Es el caso si definimos un como el número de factores propios de n por ejemplo, u otras funciones aritméticas, como la función fi de Euler o la Función de Möbius µ . El estudio clásico de las funciones, mediante la derivación, es entonces imposible.

Las sucesiones aritméticas

Una sucesión aritmética puede ser definida como función de n:

$u_n = u_0 + r \cdot n \qquad (r \in \mathbb{R})$

También puede ser definida por inducción de la siguiente forma:

$\begin{matrix} u_0 & = & a \qquad & (a \in \mathbb{R}) \\ u_{n+1} & = & u_n + r & (r \in \mathbb{R}) \end{matrix}$

Al número real r se le denomina razón de la sucesión.

Si la razón es positiva, la sucesión crece, y tiende hacia + ∞. Si es negativa, decrece y tiende hacia - ∞. Si es nula, la sucesión es constante.

Existe una fórmula muy sencilla para sumar números en progresión aritmética (es decir términos sucesivos de una sucesión aritmética): se multiplica el término medio, que es el promedio de los términos extremos, por el número de términos. Esta fórmula toma las formas siguientes, según el contexto:

$S = \frac {\mbox{n}\acute{\mbox{u}}\mbox{mero de t}\acute{\mbox{e}}\mbox{rminos} \times (\mbox{primer t}\acute{\mbox{e}}\mbox{rmino} + \acute{\mbox{u}}\mbox{ltimo t}\acute{\mbox{e}}\mbox{rmino} )} {2}$

$S = u_0 + u_1 + \cdots u_n = \frac {(n + 1)(u_0 + u_n)} {2}$

$S = u_1 + u_2 + \cdots u_n = \frac {n(u_1 + u_n)} {2}$

Como caso particular muy frecuente: $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

A veces lo más difícil es encontrar el número de términos para poder aplicar la fórmula. Si el primer término a sumar vale a, el último vale b, y la razón es r, entonces el número de términos en la suma es:

$\frac{|b - a|}{r} + 1$

Por ejemplo, para la suma: S = 1492 + 1499 + 1506 + ... 2003 de términos consecutivos de una sucesión de razón 7, encontramos $\frac{2003 - 1492}{7} + 1 = 74$ términos, y la suma es $\frac {74 \times (1492 + 2003)}{2} = 129 315$ .

Las sucesiones geométricas

Una sucesión geométrica puede ser definida como función de n:

$u_n = b \cdot r^n \qquad (r \in \mathbb{R})$

También puede ser definida por inducción de la siguiente forma:

$\begin{matrix} u_0 & = & b \qquad & (b \in \mathbb{R}) \\ u_{n+1} & = & r \cdot u_n & (r \in \mathbb{R}) \end{matrix}$

Al número real r se le denomina también razón de la sucesión. A menudo se la denota q.

El comportamiento de la sucesión geométrica depende del signo del primer término y del valor de su razón.

Si la razón es positiva, entonces la sucesión es monótona, y tiene un aspecto muy regular, que se puede prolongar por una función de tipo exponencial de base r: $u_n = b \cdot r^n$ se prolonga en f(x) = b·r^x.

Se distinguen cuatro casos, como se ve en la figura siguiente; las ordenadas de los puntos negros son los valores de la sucesión, y la curva representa la función:

Si la razón es negativa, entonces la sucesión es oscilante. Se distinguen dos casos en función de si r es menor que -1 ó no. El signo del primer término no modifica el aspecto general de la sucesión (cambiar de signo equivale a una simetría alrededor del eje horizontal, y aquí no se nota mucho). Las potencias rⁿ con r negativo no se generalizan a los reales, salvo convención particular, y por lo tanto no existe una función natural que prolongue la sucesión. En la figura siguiente se ha multiplicado la función |r|^x por el factor cos πx para simular el cambio periódico de signo.

Si el término inicial es nulo, o si la razón vale -1, 0 ó 1, la sucesión no entra en la clasificación anterior, pero no importa pues en tal caso carece de interés.

Descartando estos casos particulares, se puede decir que la convergencia de la sucesión depende del valor absoluto de la razón:

si |r| > 1, no converge, y si |r| <>

Notemos q la razón, y supongamos q ≠ 1. Entonces la suma de números en progresión geométrica es dada por la fórmula siguiente, bajo tres formas equivalentes:

$S = \frac {\mbox{primer t}\acute{\mbox{e}}\mbox{rmino} - \mbox{t}\acute{\mbox{e}}\mbox{rmino que sigue al }\acute{\mbox{u}}\mbox{ltimo de la suma}} {1 - \mbox{raz}\acute{\mbox{o}}\mbox{n}}$

$S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \frac {1 - q^{n+1}} {1 - q} = \frac {u_0 - u_{n+1}} {1 - q}$

$S = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = u_1 \frac {1 - q^n} {1 - q} = \frac {u_1 - u_{n+1}} {1 - q}$

Fórmulas

Suponiendo que $A n$ sea el término cualquiera, $A k$ el término que ocupa la posición "k", y $A 1$ el primer término de la sucesión:

Para hallar un término cualquiera en una sucesión geométrica, se debe usar: $A_n = A_k \cdot r^{n-k}$

Para sumar los "n" primeros términos de una sucesión geométrica: $S_n = \frac {A_n \cdot r - A_1} {r - 1}$

Para sumar todos los números de una sucesión (Suma infinita): $S_\infty = \frac {A_1} {1-r}$ . Esta fórmula sólo es aplicable cuando

Para calcular el producto de los nº primeros términos de una sucesión: $P_n = \sqrt{(A_n \cdot A_1)^n}$

BIBLIOGRAFIA:

http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1tica

TECNICAS DE CONTEO

Combinatoria

La combinatoria es una rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen unos criterios especificados, y se ocupa, en particular, del "recuento" de los objetos de dichas colecciones (combinatoria enumerativa) y del problema de determinar si cierto objeto "óptimo" existe (combinatoria extremal). Uno de los más destacados combinatorialistas de los últimos tiempos ha sido Gian-Carlo Rota, cuyas contribuciones han ayudado a formalizar el tema desde la década de 1960. El prolífico matemático Paul Erdős trabajó principalmente en problemas extremales. El estudio de cómo contar objetos es a veces considerado por separado como el campo de la enumeración.

La combinatoria analiza todo tipo de posibilidades al momento de considerar la cantidad de opciones posibles en un conjunto finito de objetos. Tiene en cuenta la repetición posible de los mismos, y la no repetición, al igual que los intercambios de posiciones de los elementos con respecto a su ubicación y orden específicos. Estos tipos de operaciones se denominan Variaciones, combinaciones y permutaciones.

A su vez, las combinaciones se pueden r

epresentar mediante números combinatorios, y nos muestran la cantidad de posibilidades al momento de tomar una cantidad "k" de elementos, de un total de "n" existentes en un conjunto determinado. Un ejemplo de pregunta combinatoria es la siguiente: ¿Cuántas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de 52 cartas? Ese número es 52! (o sea, "cincuenta y dos factorial"). Es el producto de todos los números naturales desde 1 al 52. Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este número, alrededor de 8,07 × 1067. Es algo más de 8 seguido de 67 ceros. Comparando ese número con otros números enormes, es mayor que el cuadrado del número de Avogadro, 6,023 × 1023, "el número de átomos, moléculas, etc., que hay en un mol" y es del mismo orden magnitud, 1047, que la cantidad de átomos en la Vía Láctea.

Resultados

Se pueden estudiar patrones muy sutiles y probar algunos teoremas sorprendentes sobre ellos. Un ejemplo de tales teoremas se debe a Frank P. Ramsey:

Supongamos que 6 personas se encuentran en una fiesta. Cada par de personas o bien se conocen previamente, o bien no se conocen. En todo caso, siempre se pueden encontrar 3 de esas 6 personas que o bien se conocen todos entre sí, o bien ninguna conoce a las otras dos.

La demostración se procede por reducción al absurdo: supongamos que no hay 3 personas que cumplan lo que afirma el teorema. Consideremos cualquier persona de las 6 que van a la fiesta y llamémosla A. De entre las 5 personas restantes tiene que haber 3 que, o bien conocen a A (y A las conoce a ellas), o bien no la conocen. Sin pérdida de generalidad supondremos que hay 3 personas que conocen a A. Pero entonces, de entre esas 3 personas debe haber al menos 2 que se conozcan entre sí (de lo contrario ya habría 3 personas que no se conocen entre sí). Pero entonces, esas dos personas y A son 3 personas que se conocen entre sí. (Este es un caso especial del teorema de Ramsey).

Se puede conseguir una demostración alternativa mediante doble recuento: se cuentan el número de tripletas ordenadas de personas (A, B, C), en las que las personas A y B se conocen, pero no B y C. Supongamos que la persona K conoce a k de las otras 5. Entonces es la persona B de exactamente k*(5-k) tripletas (A debe ser una de las k personas que conoce y C una de las 5-k que no conoce). Por lo tanto, es la persona B de 0*5=0, 1*4=4, 2*3=6, 3*2=6, 4*1=4 ó 5*0=0 tripletas. Es decir, que una persona podrá participar en una tripleta en la posición B a lo sumo 6 veces y como hay 6 personas, entoces, hay como mucho 36 tripletas.

Considérense ahora 3 personas de las que exactamente 2 de ellas se conocen entre sí. Está claro que podemos formar con ellas dos tripletas distintas: tomando como C la que es desconocida, y poniendo las otras dos en lugar de A y B de las dos formas en que esto puede hacerse. Del mismo modo, si exactamente 2 parejas se conocen entre sí, también se pueden organizar en una tripleta de dos formas distintas: se toma como A la persona que los otros dos conocen, y las otras se colocan como B y C de las dos maneras en que esto es posible. Hay, por lo tanto, como mucho 36/2=18 tripletas en las que exactamente una pareja o dos parejas se conocen entre sí. Como hay en total 20 tripletes posibles, debe haber al menos 2 de ellos en los que o bien se conocen todos, o bien todos son desconocidos entre sí.

La idea de encontrar un orden en configuraciones aleatorias da lugar a la teoría de Ramsey. Esencialmente, esta teoría afirma que cualquier configuración suficientemente grande contendrá al menos un caso de cualquier otro tipo de configuración.

BIBLIOGRAFIA:

http://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoria

INDUCCION MATEMATICA

Inducción matemática

La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor El número entero

a

tiene la propiedad

P

Premisa menor El hecho de que cualquier número entero

n

tenga la propiedad

P

implica que

n + 1

también la tiene

Conclusión Todos los números enteros a partir de

a

tienen la propiedad

P

Demostraciones por inducción

El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema del razonamiento es el siguiente: Llamemos P_n la proposición al rango n.

Se demuestra que P₀ es cierta, o el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción).
Se demuestra que si se asume P_n como cierta, entonces P_n+1 lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n. (relación de inducción).

Luego, demostrado esto, concluímos por inducción, que P_n es cierto para todo natural n.

La inducción puede empezar por otro término que P₀, digamos por P_{n_o}. Entonces P_n no será válido a partir del rango n_o, es decir, para todo natural n ≥ n_o.

Ejemplo:Que para todo n ≥ 1, 6ⁿ es un número que acaba en 6.

Sea P_n la proposición: "6ⁿ acaba en 6".

Es claro que P₁ es cierto, porque 6¹ = 6.

Supongamos que P_n es cierto para un valor de n natural, y probemos P_n+1.

Un entero acaba por 6 si se puede escribir así: 10a + 6, con a entero positivo o igual a cero. La hipótesis es, pues, 6ⁿ = 10a + 6.

Entonces 6ⁿ⁺¹ = 6(10a + 6) = 60a + 36 = 60a + 30 + 6 = 10(6a + 3) + 6 = 10c + 6, con c=6a + 3, entero.

Esta última escritura prueba que 6ⁿ⁺¹ acaba por 6, o sea que P_n+1 es cierto.

Luego P_n es cierto para todo n ≥ 1.

La inducción es válida por la construcción misma del conjunto de los naturales mediante los axiomas de Peano. De hecho, lnjunto: 0 es un natural, y, si n lo es, entonces n+1 (sucesor de n) lo es también.
Existen otras inducciones, para otros conjuntos elaborados de forma distinta, como por ejemplo la inducción transfinita, y la inducción sobre las fórmulas de la lógica proposicional. Además de la Demostración por Inducción, existe la definición o construcción por inducción. Por ejemplo, una sucesión aritmética puede ser definida como función de n: un = a + rn, o por inducción:

u₀ = a
u_n+1 = u_n + r.

BIBLIOGRAFIA:
http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

NUMEROS COMPLEJOS

Número complejo

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.

Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

$\begin{array}{ll} \mathbb{C} & \mbox{Complejos} \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{Reales} \begin{cases} \mathbb{Q} & \mbox{Racionales} \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{Enteros} \begin{cases} \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\ & \mbox{Cero} \\ & \mbox{Enteros negativos} \end{cases}\\ & \mbox{Fraccionarios} \end{cases}\\ & \mbox{Irracionales} \end{cases}\\ & \mbox{Imaginarios} \end{cases} \end{array}$

Definición

Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

Suma

$(a, b) + (c, d) = (a+c) +\; (b+d)i$

Multiplicación

$(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd) +\; (ad + cb)i$

Igualdad

$(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d$

Al primer componente (que llamaremos a) se la llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que $a = 0$ .

Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

La multiplicación de números complejos es asociativa, conmutativa y distributiva:

Sean $z,w,s \in \mbox{C}$

I) $(zw)s = z(ws)\,$

II) $zw = wz\,$

III) $z(w + s) = zw + zs \,$

Sean $z = a + i b, w = c + i d, s = e + i f \,$ con $a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}$

Por demostrar la propiedad asociativa (I)

$(zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,$

$[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd) = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,$

Por otra parte

$z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,$

$[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,$

Entonces se cumple $(zw)s = z(ws)\,$ .

Unidad imaginaria

Tomando en cuenta que $(a, 0) \cdot (0, 1) = (0, a)$ , se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

$\mathrm{i} = (0, 1) \,\!$

De donde se deduce inmediatamente que,

$\mathrm{i}^2 = \mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1$

Representación binomial

Un número complejo se representa en forma binomial como:

$z = a + bi \,$

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

$a = \hbox{Re}(z)=\Re(z)$

$b = \hbox{Im}(z)=\Im(z)$

Plano de los números complejos o Diagrama de Argand

El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos. Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una función en el plano complejo. El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, que encuentra aplicación en muchas otras áreas de la matemática así como en física, electrónica y muchos otros campos.

Valor absoluto o módulo, conjugado y distancia

Valor absoluto o módulo de un número complejo

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

$|z| = \sqrt{\hbox{Re}^2(z) + \hbox{Im}^2(z)}$

Si pensamos en z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.

Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma polar como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la conocida fórmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

$\left| z \right| = 0 \Longleftrightarrow z = 0$

$\left| z + w \right| \leq |z| + |w|$

$\left| zw \right| = |z||w|$

$\left| z - w \right| \ge |z| - |w|$

para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.

El conjugado de un complejo z (denotado como $\bar{z}$ ó $z^* \,\!$ ) es un nuevo número complejo, definido así:

$\bar{z} = a - \mathrm{i}b \Longleftrightarrow z = a + \mathrm{i}b$

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.

Con este número se cumplen las propiedades:

$\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$

$z+\overline{z} = 2\cdot \hbox{Re}(z)$

$z-\overline{z} = 2i\cdot \hbox{Im}(z)$

$\overline{zw} = \bar{z} \bar{w}$

$z \in \mathbb{R} \Longleftrightarrow \bar{z} = z$

$|z|^2 = z\bar{z}$

$z \neq 0 \Longrightarrow \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Representación trigonométrica (polar) y representación geométrica

Algunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b (coordenadas ortogonales) es menos conveniente que otra representación, usando coordenadas polares.

Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a, b), denominado vector de posición.

Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a, b), a la que llamaremos r, y, que como se ha visto antes, es igual al módulo de z, expresado $| z |$ .

Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ángulo, denominado $\phi \,$ .

La representación polar nos permite expresar este número complejo en función de r y del ángulo $\phi \,$ :

$z = r e^{\mathrm{i}(\phi + 2\pi{}k) \,}$

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

$z = a + \mathrm{i}b ;\; z = r\cos{\phi} + \mathrm{i}r\sin{\phi}$

Sacamos factor común r:

$z = r \left( \cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} \right)$

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:

$\ z = r \; \operatorname{cis} \; {\phi}$

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.

Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler, vemos que:

$\cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} = e^{\mathrm{i}\phi} ;\; z = r e^{i\phi}$

No obstante, el ángulo $φ$ no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler:

$\forall{k}{\in}\mathbb{Z}\; z = e^{\mathrm{i}(\phi + 2\pi{}k)}$

Por esto, generalmente restringimos $φ$ al intervalo [-π, π] y a éste $φ$ restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ = Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

$z_1 z_2 = rse^{\mathrm{i}(\phi + \psi)} \Leftrightarrow z_1 z_2 = r e^{\mathrm{i}\phi} s e^{\mathrm{i}\psi}$

División:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} e^{\mathrm{i}(\phi - \psi)}$

Potenciación:

$z^n = r^n e^{\mathrm{i} \phi n} \Leftrightarrow z^n = \left( r e^{i\phi} \right)^{n}$

$z^n =(a + b\mathrm{i})^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1} a^{n-1}b\mathrm{i} + {n \choose 2}a^{n-2} \left ( b \mathrm{i} \right)^2 + \ldots + {n \choose {n-1}}a \left ( b \mathrm{i} \right ) ^{n-1} + {n \choose n} \left (b\mathrm{i} \right)^n$
BIBLIOGRAFIA:: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

Planificacion de matematica

miércoles, 7 de octubre de 2009